makalah statistika data kemiringan dan keruncingan

BAB I

PENDAHULUAN

A.  Latar Belakang

Statistika tidak dapat dipisahkan dalam kehidupan sehari-hari. Tanpa sadar kita sering menjumpai data statistika. Ilmu statistika dapat membantu seseorang dalam menyelesaikan masalah  yang kaitannya dengan data tunggal maupun kelompok. Salah satu jenis dari statistika mengenai kemiringan dan keruncingan. Dalam malakah ini, akan dijelaskan mengenai pengertian, jenis dan kurva dari suatu kemiringan dan keruncingan distribusi data tunggal maupun kelompok. Materi dalam makalah ini juga dilengkapi dengan contoh soal dan latihan soal untuk menguji pemahaman dari materi yang telah dipelajari.

B.  Rumusan Masalah

1.    Mencari tahu apa itu kemiringan dan keruncingan

2.    Menganalisa ukuran penyebaran data kemiringan dan keruncingan

3.    Cara membaca nilai kemiringan dan keruncingan

C.  Tujuan

1.    Untuk memenuhi nilai tugas persentasi sebagai bahan acuan tuntuk slide yang akan di persentasikan

2.    Dibuatnya makalah ini juga dapat membantu kita memahami penganalisa tentang kemiringan dan keruncingan

BAB II

PEMBAHASAN

A.  Ukuran Kemiringan

Kemiringan (skewness) dari suatu distribusi adalah derajat kesetangkupan (derajat simetris) dari distribusi tersebut (Sartono, 1997). Dan adapun ukuran kemiringan adalah derajat atau ukuran dari ketidaksimetrisan (Asimetri) suatu distribusi data. Dapat pula dikatakan bahwa ukuran kemiringan adalah harga yang menunjukkan seberapa jauh distribusi itu menyimpang dari simetris. Jika kita tinjau berdasarkan kemiringan, suatu kurva distribusi dapat dikelompokkan menjadi tiga bagian, yaitu sebagai berikut:

Simetris : menunjukkan letak nilai rata-rata hitung, median, dan modus berhimpit (berkisar disatu titik).

Miring ke kanan : mempunyai nilai modus paling kecil dan rata-rata hitung paling besar.

Miring ke kiri : mempunyai nilai modus paling besar dan rata-rata hitung paling kecil.

Ada beberapa rumus untuk menghitung koefisien kemiringan, yaitu:

1.    koefisien kemiringan dari pearson

Koefisien kemiringan α =  atau α =

Keterangan :
	Med = median
	Mod =modus
	s = simpangan baku

2.     koefisien kemiringan dari  momen

a.    rumus data individu

koefisien kemiringan  

b.    rumus data kelompok

koefisien kemiringan  

Keterangan :
	= nilai titik tengah kelas ke – i
	=  Nilai data ke – i
	s = simpangan baku
	= derajat kemiringan
	= frekwensi data ke-i
	n = banyak data

3.    koefisien kemiringan dari bowley

Koefisien kemiringan  α =

Keterangan :	= kuartil pertama
	=kuartil kedua
	= kuartil ketiga

Contoh soal:                         

a.    Data individu

          Data dibawah ini adalah data pencurian dengan pemberatan yang di lakukan di kota Bogor selama tahun 2017, dan data ini  ambil dari https://bogorkota.bps.go.id.

Data

Jan	feb	mar	Apr	Mei	jun	jul	Agst	Sept	okt	nov	Des
7	14	10	14	11	16	15	14	12	9	11	16

Hitunglah derajat kemiringan dengan rumus :

Rumus Pearson  (modus & median)	α=
	α=
Rumus Momen (tidak berkelompok)
Rumus Bowmel

urutkan data

7

9

10

11

11

12

14

14

14

15

16

16

Tentukan nilai:
Modus	14
Median	Ngenap: N=2k
	=
	=
	= 13
(nilai rata-rata hitung)	=
	=
	= 12,42

(variansi)  =	2
=	[(7-12,42)2+(9-12,42)2+(10-12,42)2+(11-12,42)2+(11-12,42)2+(12-12,42)2+(14-12,42)2+(14-12,42)2+( 14-12,42)2+( 15-12,42)2+( 16-12,42)2+(16   12,42)2]
=	[(-5,42)2+(-3,42)2+(-2,42)2+(-1,42)2+(-1,42)2+(-0,42)2+(1,58)2+(1,58)2 +(1,58)2+(2,58)2+(3,58)2+(3,58)2]
=	[29,3764+11,6964+5,8564+2,0164+2,0164+0,1764+2,4964+2,4964 +2,4964+6,6564+12,8164+12,8164]
=	90,9168
	8,265164

(Simpangan baku)	=
	=
	= 2,87492

Rumus pearson (modus)	=
	=
	= -0,54958

α<0 = -0,54958  < 0, distribusi data miring ke kiri

                       

Rumus pearson (median)	α=
	=
	= -0,60523

α<0     = -0,60523  < 0, distribusi data miring ke kiri

rumus momen derajat tiga  =
=	[(-5,42)3+(-3,42)3+(-2,42)3+(-1,42)3+(-1,42)3+(-0,42)3 +(1,58)3+(1,58)3 +(1,58)3+(2,58)3+(3,58)3+(3,58)3]
=	[(-159,22)+( -40,0017)+( -14,1725)+( -2,86329)+( -2,86329)+( -0,07409)+3,944312+ 3,944312+3,944312 +17,17351+45,88271+45,88271
=	. -98,4231
	-0,34517

= -0,34517, <0 maka data miring ke kiri

7

9

10

11

11

12

14

14

14

15

16

16

Rumus bowley                   :                                  

Mencari Q1            = 1(n+1)/4

= 1(12+1)/4

= 13/4

= 3

3 artimya, data urutan ke 3,25 (yaitu diantara data 10&11)

= 10+

= 10+0,25

                                  = 10,25

Mencari Q2             =

=

=

= 6

6 artinya, data urutan ke 6 (yaitu diantara data 12&14)

= 12+ (14-12)

= 12+1

= 13

Mencari Q3             = 3(n+1)/4

= 3(12+1)/4

= 39/4

= 9

9 artinya, urutan data ke 9 (yaitu antara data 14&15)

=14+ (15-14)

=14+0,75

=14,75

Rumus bowley                   :          

                                              :

:

:

:

maka, α>0, ditribusi data miring ke kanan

Jika,

= 0 distribusi data simetris

< 0 distribusi data miring ke kiri

> 0 distribusi data miring ke kanan

b.   Data kelompok

Data yang sudah dikelompokan kolektif nilai ujian sekolah berstandar nasional

tahun pelajaran 2017/2018 sekolah dasar

Kab./kota     : 32 – KABUPATEN BOGOR

Sekolah       : 346 – SDN SUKAHARJA 02

Alamat         : JL. PONDOK BITUNG GG. ACE,  RT. 01/01 SUKAHARJA

NILAI	F JUMLAH SISWA
63-65	2
66-68	7
69-71	9
72-74	12
75-77	13
78-80	5
81-83	2

Hitunglah kemiringan dan keruncingan datanya

NILAI	F	FK	Xi	Fi.Xi	Xi-	(Xi-)2	Fi(Xi-)2
63-65	2	2	64	128	64-73= (-9)	81	162
66-68	7	9	67	469	67-73= (-6)	36	252
69-71	9	18	70	630	70-73= (-3)	9	81
72-74	12	30	73	876	73-73= 0	0	0
75-77	13	43	76	988	76-73= 3	9	117
78-80	5	48	79	395	79-73= 6	36	180
81-83	2	50	82	164	82-73= 9	81	162
Total	50			3650			954

FK (Fekuensi kumulatif) = f+f selanjutnya = 2+7 = 9, dan seterusnya seperti itu

Xi (nilai tengah dar panjangnya/jarak suatu nilai)

Contohnya = 63 - 64 - 65 =6 4

Fi.Xi = hasil perkalian F.Xi

 rata dari suatu nilai =   =  = 73

Median Me = Lmed+ . c

Hitung median data tersebut.

*Lmed          : batas bawah median                                             : 71,5

*     : frekuesi sebelumnya                                            : 18

*             : frekuensi median                                       : 12

*c      : panjang nilai/kelas                                                : 3

*n      : banyaknya frekuensi                                            : 50

N = 50/2 =25, untuk menemukan titik median

Me    = 71,5+

=71,5+

=71,5+1,75

=73,25

Modus Mo = Lmo+

Hitunglah modus data tersebut.

*Lmo             : batas bawah modus                                                          = 74,5

*d1    : selisih angka sebelumnya dari frekuensi modus                    = 1

*d2    : selisih angka sesudahnya dari frekuensi modus                    = 8

*c      : panjang nilai/kelas                                                            = 3

Mo    = 74,5+

=74,5 + 0,375

= 74,875

S (Simpangan Baku) S    =

=

=,07

=4,36

Rumus pearson (med) α  =

           α         =

=

= 0,17 distribusi data miring ke kanan

Rumus bowley                   :          

Mencari       Q1       =

Mencari letak Q1    =  

=  = 12,5

Q1     =

          =

          =

=

= 68,5+1,17

= 69,67

Mencari letak Q2    =  

=  = 25

Q2     =

          =

          =

=

= 71,5+1,75

= 73,25

Mencari letak Q3    =  

=  = 37,5

Q3     =

          =

          =

=

= 74,5+1,73

= 76,23

Rumus bowley                   :

:

=

=

= -0,09 maka, α<0 ditribusi data miring ke kiri

B.   Ukuran Keruncingan

Selain kemiringan, kita perlu juga mengetahui keruncingan/kelancipan (kurtosis) suatu distribusi. Kurtosis (peadkedness) dari suatu distribusi adalah rajat atau ukuran tinggi rendahnya puncak suatu distribusi data terhadap distribusi normalnya data. Keruncingan distribusi data ini disebut juga kurtosis. Ada tiga jenis derajat keruncingan, yaitu :

 Leptokurtis : distribusi data yang puncaknya relatif tinggi.

Mesokurtis : distribusi data yang puncaknya normal.

Platikurtis : distribusi data yang puncaknya terlalu rendah dan terlalu mendatar.

Dalam mencari koefisien Derajat keruncingan distribusi data  dapat dihitung berdasarkan rumus berikut :

rumus data individu

koefisien kemiringan  

rumus data kelompok

koefisien kemiringan  

Keterangan :
	= nilai titik tengah kelas ke – i
	=  Nilai data ke – i
	s = simpangan baku
	= derajat kemiringan
	= frekwensi data ke-i
	n = banyak data

Contoh soal

a.    Data indivdu

(koefisien kemiringan)
	=(862,9729+136,8058+34,29742+4,065869+4,065869 +0,031117+6,232013+6,232013+6,232013+44,30766+164,2601+164,2601)
	=
	= 1,749014

<3 , maka distribusi keruncingan data disebut platikurtis

Jika,

 = 3 distribusi keruncingan data disebut mesokurtis

 > 3 distribusi keruncingan data disebut leptokurtis

< 3 distribusi keruncingan data disebut platikurtis

BAB III

PENUTUP

Kesimpulan

Stastistika di pelajari di berbagai bidang ilmu, karena statistika adalah sekumpulan alat analisis data yang dapat membantu pengambilan keputusan. Selain itu juga kita bisa memperkirakan keadaan yang akan datang berdasarkan data masa lalu.